Soal-Soal dan Pembahasan Peluang

EBTANAS2000
1. Pengurus suatu organisasi yang terdiri dari ketua, wakil ketua dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap adalah…
A. 7B. 10
C. 21
D. 35
E. 210
Jawab:
soal di atas adalah urutan yang diperhatikan karena dari ke 7 calon tersebut dapat menduduki ke 3 posisi yang berbeda, sehingga digunakan permutasi.
jawaban selanjutnya dan soal-soal pembahasan peluang yang lain klik di sini

Program Linear

Program Linear

Matrik

Matriks (matematika)

Matrika adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear 1 Variabel

 

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.
Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dikatakan benar atau salah.

Contoh:




Jika variabel diganti dengan angka 7, maka hasilnya salah. Sebaliknya, jika variabel diganti dengan angka 8, maka hasilnya benar.
Persamaan Linear Satu Variabel
Telah dijelaskan bahwa persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.
Contoh:

• 

• 

Aproksimasi Kesalahan

KEGIATAN BELAJAR 1

KESALAHAN PENGUKURAN
Pembulatan
Pada pengukuran ada 3 macam cara pembulatan, yaitu:
Pembulatan ke satuan ukuran terdekat.
Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal.
Pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan (angka-angka yang berarti). Semua angka adalah signifikan kecuali anngka nol yang digunakan untuk menyatakan tempat koma desimal.

Contoh
513,7 kg = 14 kg; dibulatkan ke kilogram terdekat.
101,12 m = 101,1 m; dibulatkan ke persepuluh meter terdekat.
15431 m2 = 15430 m2; dibulatkan ke puluhan meter persegi terdekat.

Bilangan Real

Berbagai Sistem Bilangan

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Barisan dan Deret

1. Pengertian Barisan

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan
tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-
suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan
tertentu. 
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:
a.  2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya
b.  100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri.
Misal:
a.  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya
b.  80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya

2. Pengertian Deret
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.
Misal:
Deret aritmetika (deret hitung)   : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Deret geometri (deret ukur)  : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

3. Barisan dan Deret
A. Barisan Aritmatika
Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........Un
a1 = 2 = a
a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
Un = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:


Un  = Suku ke-n
    a  = suku pertama
    b  = beda antar suku
    n  = banyaknya suku

Latihan:
1.  Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................
2.  Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan 
     bedanya !
3.  Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-11 = 23 

Deret Aritmetika (Deret Hitung)
Misal:  Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn
  Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn – 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a
                    +
  2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ...................  sebanyak n 
    2 Dn = n(a + Sn) 
  ) S a (
2
n
D n n + =   atau 
  ) b   1) - (n     a a (
2
n
Dn + + = 
  ) b   1) - (n   a 2 (
2
n
Dn + =    dimana
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1.  Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........
2.  Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan
suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan Geometri
Misal:  3, 6, 12, 24, 48, .................
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar
2

a4 = 24 = 12 x 2 = ar
2
x r = ar
3

an = ar
n-1
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

1 n
n ar a -
=    dimana:
an  = suku ke-n  (Sn)
a  = suku pertama
r  = rasio antar suku berurutan
n  = banyaknya suku

 Hand out Matematika Bisnis    19
Latihan:
1.  Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya
adalah 2.  
2.  Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan
suku ke-9 adalah 768
Deret Geometri (Deret Ukur)
Misal:  Dn = a + ar + ar
2
 + ar
3
 + ............ + ar
n-1

  r Dn =      ar + ar
2
 + ar
3
 + ............ + ar
n-1
 + ar
n

                -
  Dn - rDn = a - ar
n

  (1-r)Dn = a (1-r
n
)

) r 1 (
) r 1 ( a
D
n
n
-
-
=   dimana:
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1.  Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6,
12, 24, ........
2.  Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800
dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5
suku pertama (D5) ?

Peluang

1. Kaidah Pencacahan  (Counting Rules) 

Kaidah Pencacahan (Counting Rules)merupakan cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Metode yang dapat digunakan antara lain metode pengisian tempat (filling slot), Permutasi, dan Kombinasi.

a. Kaidah dasar Membilang atau kaidah perkalian
Jika kejadian pertama dapat terjadi dengan n1 cara yang bebeda, kejadian kedua terjadi dalam n2 cara yang bebeda, kejadian ketiga, kejadian keempat,...dan seterusnya dapat terjadi dalam n3 cara, n4 cara, ... cara yang berbeda, maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dalam n1. n2 . n3 . n4 ... 3.2.1
 
Contoh 1: 
Untuk pergi dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan  3 jalan. Dan kota B ke kota C dapat   ditempuh dengan 2 jalan. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi dari kota A ke kota C melalui kota B?

Skema Kota A, B, C

(Jawaban)
Kita buat skema kota dengan jalan yang bisa ditempuh. Lihat gambar di samping.

Cara tempuh kota A-kota C

Lalu, dari gambar tersebut, kita dapat menemukan jawabannya, perhatikan gambar di samping.

Maka, dari gambar di samping dapat diketahui bahwa terdapat 6 cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B.
Namun, bagaimana bila terdapat lebih dari 5 cara dari kota A ke kota B dan dari 7 cara dari kota B ke kota C?
Nah, bila diperhatikan, maka dapat kita ambil sebuah kesimpulan dari penyelesaian di samping, dengan melihat bahwa ada 3 jalan dari kota A ke kota B, dan 2 jalan dari kota B ke kota C, maka kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan cara yang singkat, yaitu dengan mengkalikan keduanya, 3 x 2 = 6. Maka, bila terdapat soal sejenis dengan jalan yang banyak, kita tinggal mengkalikannya saja.

Contoh 2:
Terdapat bilangan 1,2,3, dan 4. berapa banyak bilangan yang terdiri atas 2 angka dapat dibentuk, di mana tidak boleh ada angka pengulang.

(Jawaban)

Lihat gambar di samping. Maka, ada 12 bilangan yang dapat dibentuk.
Bila. kita perhatikan, maka kita dapat menggunakan cara yang lebih singkat untuk menyelesaikan soal di atas (dan soal sejenis).

Perhatikan:
Bilangan terdiri dari 2 angka, maka 2 angka itu adalah, angka puluhan, dan satuan, dan tidak boleh ada angka pengulang.
Maka, dalam kasus di soal ini, kita dapat simpulkan:
Puluhan: 4 cara
Satuan:  3 cara.
maka, 4 x 3 = 12.
Dengan begitu, kita dapat menyelesaikan soal yang sejenis, berapa pun banyaknya.

 

 

b. Faktorial

Notasi : n! (dibaca n faktorial)

n! = n . ( n - 1 ). ( n - 2 ). (n - 3 ) . . . 3 . 2 .1

0! = 1 

c. Permutasi  

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 = 5.040

Contoh Permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

d. Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).


Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri :)

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

a. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Definisi kejadian :
Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

Definisi peluang :
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan 

Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :

Munculnya mata dadu ganjil Munculnya mata dadu genap Munculnya mata dadu prima

Jika pada percobaan tersebut diinginkan  kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah

Atau:

Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada  suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara :

Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?

Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah

Batas-Batas Nilai Peluang
Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti
Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan
Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi,
maka :

Contoh:

1. Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang :
    a. munculnya mata dadu bilangan asli
    b. munculnya mata dadu 7

    Jawab :
    a.  Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian.
    b.  Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan

2. Dua buah dadu kubus homogen bermata enam dilempar bersama-sama     sebanyak satu kali. Berapakah peluang munculnya mata dadu tidak     berjumlah 12 ?

    Jawab :
    Banyaknya ruang sampel percobaan tersebut ada 36 kejadian, sedang kejadian muncul mata     dadu berjumlah 12 ada 1 kejadian yaitu (6,6), sehingga :

   

 

3. Kejadian Majemuk

Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian majemuk. 

a. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Diketahui, 

A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut.Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A), dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P(bukan A) atau P(A’). Peluang ruang sampel sama dengan 1 sehingga P(A) + P(bukan A) = 1 atau P(bukan A) = 1 – P(A)  

b. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas 

Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong.  

Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A dan himpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) dan P(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang gabungan 2 kejadian tersebut yang dinyatakan oleh P(A u B) adalah P(A) + P(B) – P(A n B). Oleh karena A n B = Ø maka tentunya P(A n B) = 0 sehingga P(A u B) = P(A) + P(B) 

Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.  

c. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas 

1) Kejadian Melempar Dua Mata Uang secara Bersamaan Dalam pelemparan dua keping uang logam secara serempak, apabila G1 adalah kejadian muncul permukaan gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. 

Begitu pula apabila A1 menyatakan kejadian muncul permukaan angka pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan dipengaruhi oleh A1. Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan dinamakan dua kejadian yang saling bebas.  Misalkan, G2 adalah kejadian muncul permukaan gambar pada mata uang kedua dan A2 adalah kejadian muncul permukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruang sampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah {(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}. 

2). Kejadian Mengambil Bola dari Dalam Sebuah Tas Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian. Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau, kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. 

Pada pengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadian pengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yang saling bebas stokastik karena pengambilan bola pertama tidak mem pengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampel kejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut. 

• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau, biru} P(hijau) = 5/12 dan P(biru) = 7/12 . 

• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru dan hijau), (biru dan biru)}.

Sumber